دترمینان یک ماتریس

ترمینان (Determinant) ماتریس، عدد مخصوصی است که برای ماتریس‌های مربع محاسبه می شود. ماتریس، آرایش منظمی از اعداد است که در سطرها و ستون‌های معینی ترتیب یافته‌اند. برای مثال در تصویر زیر یک ماتریس با دو سطر و دو ستون مشاهده می‌کنید:

دترمینان این ماتریس برابر است با (روش محاسبه بعدا توضیح داده می شود):

(3 × 6) – (8 × 4) = 18 – 32 = -14

کاربرد این عدد چیست؟

دترمینان اطلاعاتی در مورد ماتریس در اختیارمان می گذارد که در سیستم های معادلات خطی به درد می خورد. این عدد برای یافتن معکوس ماتریس و همچنین در معادلات دیفرانسیل و انتگرال و در شرایط بسیار دیگری به درد می خورد. اگر دترمینان ماتریسی مخالف صفر باشد، آنگاه در می‌یابیم که آن ماتریس معکوس‌پذیر است. از این رو از طریق دترمینان می‌توان مقادیر ویژه یک ماتریس یا به عبارت بهتر یک نگاشت خطی از آن تعیین کرد. با استفاده از دترمینان می‌توان معکوس ماتریس‌های ۳×۳ و مراتب بالاتر را محاسبه کرد. حتی می‌توان جهت حل معادله درجه ۳ از آنالیز ماتریسی و مفهوم دترمینان استفاده کرد.

نماد

نماد دترمینان، دو خط عمودی در طرفین حرف انگلیسی ماتریس مورد نظر است. برای مثال | A | به معنی دترمینان ماتریس A است. در واقع این نماد دقیقاً هم شکل نماد «قدر مطلق» است.

محاسبه دترمینان

اولین شرط برای محاسبه دترمینان این است که ماتریس باید مربع باشد، یعنی تعداد سطر‌ها و ستون‌های آن با هم برابر باشند. در صورتی که این شرط برقرار باشد با چند رابطه ساده حسابی می‌توان دترمینان ماتریس را محاسبه کرد. روش محاسبه دترمینان برای ماتریس‌های با اندازه مختلف در ادامه توضیح داده شده است. البته در مواردی که با ماتریس‌های با مرتبه بالاتر روبرو هستیم، بایستی از مفاهیمی هم‌چون ماتریس کهاد یا ترانهاده ماتریس نیز بهره برد.

برای یک ماتریس 2×2

برای یک ماتریس 2×2 یعنی ماتریسی که دارای 2 سطر و 2 ستون است:

دترمینان برابر است با:

| A | = ad-bc

یعنی دترمینان ماتریس A برابر است با a ضرب در d منهای b ضرب در c. اگر یک علامت ضربدر روی ماتریس تصور کنید، به خاطر سپردن رابطه فوف آسان تر خواهد بود:

•  آبی قسمت مثبت محاسبه دترمینان است (ad+)
•  قرمز قسمت منفی محاسبه دترمینان است (bc-)

مثال:

| B | = 4 × 8-6 × 3

= 32-18

= 14

محاسبه دترمینان ماتریس 3×3

برای یک ماتریس 3×3 یعنی ماتریسی که دارای 3 سطر و 3 ستون است:

دترمینان برابر است با:

| A | = a (ei – fh) – b (di – fg) + c (dh – eg)

به نظر پیچیده می آید، اما الگوی کار به شکل زیر است:

برای یافتن دترمیان یک ماتریس 3×3 مراحل زیر را اجرا می‌کنیم:

• ابتدا دترمینان ماتریس 2×2 که هیچ درایه آن در سطر و ستون a قرار ندارد را محاسبه می‌کنیم و سپس a را در این مقدار  ضرب می کنیم.
• در مورد b و در مورد c نیز همین عمل را تکرار می کنیم.
• مقادیر بدست آمده را باهم جمع می کنیم، اما به یاد داشته باشید که از مقدار منفی عدد b در جمع استفاده می‌کنیم.

موارد فوق را در به صورت تصویر زیر فرمول ‌بندی کرده‌ایم. توجه داشته باشید که علامت | | به معنی «دترمینان»است:

مثال:

| C |= 6 × ( -2 × 7-5 × 8 )-1 × ( 4 × 7-5 × 2 ) + 1 × ( 4 × 8-(-2) × 2 )

= 6 × ( -54 )-1 × ( 18 ) + 1 × ( 36 )

=-306

محاسبه دترمینان ماتریس های 4×4 و بالاتر

این الگو برای ماتریس های 4×4 نیز صدق می کند. اگر روش محاسبه ماتریس‌های 3 در 3 را آموخته اید در مورد ماتریس‌های 4 در 4 روش عمل به صورت زیر خواهد بود:

• مثبت a ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون a نیست.
• منفی b ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون b نیست.
• مثبت c ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون c نیست.
• منفی d ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون d نیست.

فرمول آن را به صورت تصویر زیر می‌توان نمایش داد:

به الگوی -+-+ دقت کنید (… a … -b … + c … -d+). این الگو را باید به خاطر بسپارید.

این الگو برای ماتریس های 5×5 و بالاتر نیز صدق می کند. اما برای این محاسبه دترمینان این نوع ماتریس ها بهتر است از نرم‌افزار هایی که به این منظور طراحی شده‌اند، استفاده کنیم.

روش‌های دیگری نیز برای محاسبه دترمینان وجود دارند

این روش محاسبه ای که در بخش فوق اشاره کردیم به نام روش «بسط لاپلاس» نامیده می شود. این روش میان دانش آموزان رایج است چرا که حفظ کردن آن آسان است. اما باید بدانید که روش های دیگری نیز برای محاسبه دترمینان یک ماتریس وجود دارند.

جمع‌بندی

• برای ماتریس 2×2 دترمینان برابر است با ad-bc
• برای ماتریس 3×3 مقدار a را در دترمینان ماتریس 2×2 که در سطر و یا ستون a نیست، ضرب می‌کنیم. سپس b و c را نیز به همین ترتیب ادامه می دهیم. اما به یاد داشته باشید که b می بایست منفی شود.
• این الگو برای ماتریس های بزرگتر نیز صدق می کند: a را در ماتریسی که در سطر و ستون a نیست ضرب کنید. سپس برای b این کار را انجام دهید و به همین ترتیب ادامه می دهید، اما الگوی -+-+ را همواره به یاد داشته باشید و مقادیر به دست آمده را یکی در میان منفی کنید.